Estructura del PID

Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertad:
Figura 4: Diagrama en bloques
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El controlador PID consta de 3 acciones
Dichos controladores son denominados P, I, PI, PD y PID.

El controlador PID se puede describir como:

$\displaystyle u(t)=K \bigg( e(t) + \dfrac{1}{T_{i}} \displaystyle\int_{0}^{t} e(\tau)d\tau + T_{d}\dfrac{de(t)}{dt} \bigg)$ (1)

donde

De esta manera, la variable de control es una suma de tres términos:
Los parámetros del controlador son: Acción proporcional
En el caso de un control proporcional puro, la ley de control de la ecuación (1) se reduce a

$\displaystyle u(t) = Ke(t) + u_{b} \\ $ (2)

La acción de control es simplemente proporcional al error de control. La variable $ u_{b}$ es una señal de polarización o un reset. Cuando el error de control $ e$ es cero, la variable de control toma el valor $ u(t) = u_{b}$. La polarización $ u_{b}$ a menudo se fija en $ \dfrac{(u_{max}+ u_{min}}{2})$, pero, algunas veces, puede ser ajustada manualmente de forma que el error de control en estado estacionario sea cero en una referencia dada.

Análisis estático
Muchas de las propiedades del control proporcional se pueden entender mediante el siguiente argumento, que está basado en consideraciones estáticas puras. Considere un lazo realimentado simple, como se muestra en la figura 2, que consiste de un proceso y un controlador, sometidos a perturbaciones.
Figura 5: Diagrama de bloques de un lazo de realimentación simple
Image 02

Asuma que el controlador tiene acción proporcional y que el proceso está representado por un modelo estático:

$\displaystyle x=K_{p}(u + l)$ (3)


donde Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir del diagrama de bloques.

$ y= x + n$

$\displaystyle x=K_{p}(u + l)$ (4)

$ u = K(y_{sp}-y) + u_{b}$

La eliminación de las variables intermedias da la siguiente relación entre la variable del proceso $ x$, la referencia $ y_{sp}$, la perturbación de carga $ l$ y el ruido de medición $ n$:

$\displaystyle x = \dfrac{KK_{p}}{1 + KK_{p}} (y_{sp}-n) + \dfrac{K_{p}}{1 + KK_{p}}(l + u_{b})$ (5)


El producto $ KK_{p}$ es un número sin dimensiones llamado "ganancia de lazo". En la ecuación anterior (4) se debe asumir que $ n$ y $ u_{b}$ son cero. La ganancia de lazo debe ser alta, para aseugrar que la salida del proceso $ x$ sea cercana a la referencia $ y_{sp}$. Un valor alto de la ganacia de lazo permitirá hacer que el sistema sea insensible a la perturbación de la carga $ l$. Sin embargo si $ n$ es diferente de cero, se sigue que el ruido de medición $ n$ influye sobre la salida del proceso de la misma forma que lo hace la referencia $ y_{sp}$. Para evitar que el sistema sea sensible al ruido de medición, la ganancia de lazo no debe ser muy grande. Más aún, la polarización $ u_{b}$ del controlador influye en el sistema de la misma forma en que lo hace la perturbación de carga. Por tanto, es obvio que el diseño de la ganancia de lazo debe ser considerado como un compromiso entre dos objeticos de control diferentes, por lo que no existe una respuesta simple que permita encontrar una fórmula que determine la mejor ganancia de lazo a ser aplicada en el sistema. Esto dependerá de cuál objetivo de control es más importante para la aplicación en cuestión.

En la ecuación anterior se puede ver que el controlador porporcional normalmente producirá un error en estado estacionario. Esto puede ser deducido intuitivamente a partir de la observación de la ecuación (4) donde el error de control es cero sólo cuando $ u = u_{b}$ en estado estacionario. Por tanto, el error puede hacerse cero en una condición de operación dada manipulando la polarización $ u_{b}$ del controlador.

El análisis anterior está basado en la suposición de que el proceso se puede describir mediante un modelo estático. Cuando se considera la dinámica del sistema se introducen otras propiedades sobre el comportamiento del sistema en lazo cerrado. Lo más importante es que el sistema en lazo cerrado normalmente será inestable si se eligen altas ganancias de lazo. En la práctica, es la dinámica del sistema la que determina la máxima ganancia de lazo que puede ser utilizado.

Acción integral

La función principal de la acción integral es asegurar que la distancia del proceso concuerde con la referencia en estado estacionario. Con el controlador proporcional, normalmente existirá un error de estado estacionario. Con la acción integral, un pequeño error positivo siempre producirá un incremento en la señal de control y, un error negativo siempre dará una señal decreciente sin importar cuán pequeño sea el error.

El siguiente argumento simple muestra que el error en estado estacionario siempre será cero con la acción integral. Se asume que el sistema está en estado estacionario con una señal de control constante, $ u_{0}$, y un error constante, $ e_{0}$. De la ecuación (1) se tiene que la señal de control está dada por:

$\displaystyle u_{0} = k\bigg(e_{0} + \dfrac{e_{0}}{T_{i}} t\bigg)$ (6)


Como se tiene que $ e_{0}\neq$ 0, claramente se contradice el supuesto de que la señal de control $ u_{0}$ se mantiene constante. Por tanto, como resultado de esto, un controlador con acción integral siempre dará un error en estado estacionario igual a cero.

La acción integral también puede ser vista como un dispositivo que automáticamente restablece el término de polarización $ u_{b}$ de un controlador proporcional.

Acción derivativa

El propósito de la acción derivativa es mejorar la estabilidad de lazo cerrado. El macanismo de inestabilidad puede ser descrito intuitivamente como sigue. Debido a la dinámica del proceso, pasa algún tiempo antes de que la variable de control se note en la salida del proceso. De esta manera. el sistema de control tarda en corregir el error. La acción de un controlador con acción proporcional y derivativa puede ser interpretada como si el control proporcional fuese hecho para predecir la salida del proceso. La predicción se hace por la extrapolación del error de control en la dirección de la tangente a su curva respectiva, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6: Interpretación geométrica de la acción derivativa como un control predictivo, donde la predicción se obtiene mediante extrapolación lineal.
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La estructura básica de un controlador PD está dada por:

$\displaystyle u(t) = K\bigg( e(t) + T_{d} \dfrac{de(t)}{dt}\bigg)$ (7)



La expresión en series de Taylor de $ e(t + T_{d})$ da:

$\displaystyle e(t + T_{d})\approx e(t) + T_{d}\dfrac{de(t)}{dt}$ (8)

De esta manera, la señal de control es proporcional a un estimado del error de control en un tiempo $ T_{d}$ hacia adelante, donde el estimado se obtiene mediante extrapolación lineal, como fue muestrado en la figura anterior.

mario 2011-01-07